M32
曲线视线与多观察点下的格点可见性密度：Euler 乘积公式的证明与收敛速率
来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。
1 · 研究问题
沿幂曲线族 y = axᵇ（b 为固定正整数）定义的"曲线可见性"下，从 k 个不同观察点同时可见的格点密度是否存在，且等于一个显式 Euler 乘积？该密度公式能否严格证明，并给出有限窗口 N×N 内经验密度对极限的收敛速率的定量刻画？
2 · 研究背景与空白
经典结果：从原点沿直线可见（坐标互素）的格点密度为 6/π² = 1/ζ(2)，证明只用容斥与 Euler 乘积，是初等解析数论的招牌素材。近年文献把"视线"推广为幂曲线（沿 y = axᵇ 看出去，可见性条件变为 gcd 型条件的 b-幂变体），以及把"单观察点"推广为"多观察点联合可见"，各自都有已发表的密度公式（需核实两条线的原始文献与精确公式：搜索关键词 lattice point visibility generalized lines of sight power curves；关键词 lattice points visible from multiple watchpoints density）。
已有工作：直线 + 单点 = 经典；曲线 + 单点已发表；直线 + 多点已发表（含观察点位置须满足的相容条件）。丘奖相邻获奖论文：2021 铜奖《On Higher Dimensional Orchard Visibility Problem》正是可见性题材（果园问题的高维推广），说明评委对该谱线有直接的接受记录。
空白在：曲线视线 × 多观察点的组合情形——两条推广线的交叉处的密度公式、存在性条件（观察点在曲线可见意义下的相容性）与收敛速率，未见发表（第 3 周核实；若已有，转向高维版本或带障碍版本，见第 8 块）。适合学生：证明工具就是容斥 + 中国剩余定理 + Euler 乘积，全程初等且每一步可数值验证；计算极便宜。
3 · 可检验假设
- H1：k 个处于"一般位置"（相容条件待精确刻画）的观察点下，曲线 b-可见密度存在且等于 ∏ₚ(1 − k/pb+1) 形式的显式乘积（确切指数由推导定出）；N = 10⁴ 窗口的经验密度与公式偏差 < 0.5%。
- H2：经验密度与极限的偏差按 O(N-1 log N) 量级衰减（对数因子是否出现由数据判别，误差棒用分块自助法给出）。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：计数管线先复现两个已知结果——(a) 经典 6/π² 在 N = 10⁴ 窗口偏差 < 0.1%；(b) 已发表的"曲线 + 单点"密度公式在 b = 2, 3 的数值复现（公式出处第 3 周核实写死）。不过关则全线无效。
- 定理交付：交叉情形密度公式的完整证明（含观察点相容条件的必要充分刻画），推导每一步给出可机器验证的有限模拟数验证。
- 数值验证：k ≤ 4、b ≤ 4 的全部组合在 N = 10⁴ 上偏差 < 0.5%，偏差表随论文发布。
- 收敛速率：偏差–N 曲线（N ∈ {10², 10²·⁵, 10³, 10³·⁵, 10⁴}）的对数斜率 + 分块自助法 95% 置信区间；明确标注速率结论为计算观察（除非证明达成）。
- 代码开源，一键复跑（全套实验笔记本 < 1 小时）。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 格点计数 | NumPy 向量化 gcd / 幂-gcd 计算；纯 CPU 分钟级 |
| Euler 乘积数值 | mpmath（高精度素数乘积截断 + 尾项界） |
| 已有公式对照 | 原始论文（arXiv/期刊，第 3 周核实；仅校验，不计入贡献） |
| ζ 值对照 | mpmath / OEIS（仅校验） |
| 算力量级 | 全部实验笔记本 < 1 小时，本清单中计算最轻的题 |
6 · 方法路径
- 实现经典与曲线可见性计数器，完成第 4 块第 1 条两项复现。
- 文献窗口：精读两条推广线的原始证明，核实交叉情形是否已被覆盖（能力边界核实步）。
- 推导交叉情形：先做 k = 2、b = 2 具体情形（手工容斥逐素数分析），数值验证后推广到一般 (k, b)。
- 刻画观察点相容条件（何时密度退化为 0 或需修正因子），构造反例验证条件必要性。
- 完成一般定理证明；跑全部 (k, b) 组合的数值验证表与收敛速率实验。
- 独立交叉校验：用 SymPy 精确 gcd 逐点复算 N = 10³ 窗口的全部计数。
7 · 新颖性边界
- 本课题不声称经典 6/π²、曲线单点公式、直线多点公式为本项目结果（三者全部已发表，作为引理引用）。
- 已有工作：三条已知线（第 3 周核实到定理编号）。丘奖相邻获奖论文：2021 铜奖《On Higher Dimensional Orchard Visibility Problem》——本题差异：果园问题问"遮挡与树半径"，本题问"可见格点的密度公式"；对象同谱系但问题类型不同（存在性几何 vs 密度解析），且本题交付含新的交叉情形定理。
- 本项目贡献（主结论）：曲线 × 多观察点交叉情形的密度定理（含相容条件刻画）+ 收敛速率的首份定量数据。
- 价值：干净的"两条已知推广的合流"型定理，证明初等完整、可完全复核；负结论（交叉情形密度不存在或退化）同样是可发表刻画。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末：核实交叉情形是否已发表。若已发表 → 平移路径：转高维格点（Z³ 中曲面视线）或"可见性 + 障碍点集"版本，容斥框架不变。
- 第 6 周末：k = 2、b = 2 具体情形的公式推导 + 数值吻合（< 0.5%）。若容斥出现不可控的相关性 → 先加"观察点两两曲线不可见"的强相容假设闭合定理，再逐步放宽——主结论框架不变。
- 第 16 周末：一般定理若仍未闭合，降级路径：主结论 = 具体小 (k, b) 情形的完整定理族 + 一般情形猜想与数值证据。仍是自足论文。
- 本题总工作量为全清单最轻，建议作为组队课题中"保底成稿"的主力或双课题策略中的备份。
- 预算裁剪顺序：收敛速率章节 → (k, b) 表的范围；核心定理不砍。