M33
Ehrhart 拟多项式的周期塌缩：有理三角形单参数族的判据定理
来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。
1 · 研究问题
对分母为 q 的有理三角形单参数族 T(a, q)（顶点显式给定），其 Ehrhart 拟多项式的最小周期何时严格小于分母 q（周期塌缩，period collapse）？塌缩发生的参数集能否用 (a, q) 的数论条件（同余/整除判据）完全刻画并证明？
2 · 研究背景与空白
Ehrhart 理论把"多胞形整数倍膨胀内的格点数"组织成关于膨胀因子 t 的拟多项式 LP(t)，其系数以 t mod q 为周期（q 为顶点坐标分母的最小公倍数）。一般理论保证最小周期整除 q，但可以严格更小——这一"周期塌缩"现象由 McAllister–Woods 系统揭示（他们构造了任意分母但周期为 1 的有理多边形；需核实出处年份：搜索关键词 McAllister Woods period collapse Ehrhart quasi-polynomial）。塌缩何时发生至今没有一般判据，是格点计数领域公认的具体开放方向，而二维情形（三角形）恰好是"可完整计算 + 可能完整证明"的最低维非平凡舞台。
已有工作：McAllister–Woods 的构造与后续论文给出了零散的塌缩家族与部分充分条件（第 4 周核实清单：搜索关键词 period collapse rational polygons criteria）；二维格点计数本身可用 Pick 型公式与 Popoviciu 公式（两变量线性丢番图计数的封闭式）显式展开——这给了"判据证明"一条初等可行的技术路线。丘奖相邻获奖论文：2021 金奖《On the sharp upper estimates of lattice points: Yau Geometric Conjecture》与 2025 铜奖《Intersection numbers and the counting of lattice points》都是格点计数谱系，评委接受度有直接证据。
空白在：单参数三角形族上的完全判据（充分且必要、带证明）未见发表——族选得足够具体，Popoviciu 公式能把拟多项式的每个系数写成显式的分数部分组合，塌缩条件由此变成可操作的同余命题。
3 · 可检验假设
- H1：族 T(a, q) = conv{(0,0), (a/q, 0), (0, 1)}（gcd(a,q) 的取值分层）中，周期塌缩当且仅当 (a, q) 满足一组显式同余条件；该判据在 q ≤ 60、全部 a 的机器扫描中零反例。
- H2：塌缩参数点上，最小周期等于 q 的一个显式因子（由判据同时给出），而非仅"严格小于 q"。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：格点计数器先复现已知结果——(a) 整多胞形经典例（单位正方形、标准单纯形、Reeve 四面体的二维投影替换为经典 Pick 例）的 Ehrhart 多项式精确复现；(b) McAllister–Woods 论文中至少一个已发表塌缩实例的最小周期精确复现。不过关则全线无效。
- 扫描交付：q ≤ 60 全部 (a, q) 的最小周期表（每点计算 t = 1 … 3q·(次数+1) 的格点数并做拟多项式拟合 + 周期检测，检测规则预先写死）。
- 定理交付：判据的完整证明（Popoviciu 展开 + 分数部分恒等式）；若必要性证不动，按第 8 块降级并如实标注。
- 一致性检验：扫描表与判据零偏差；另抽 20 个 q ∈ (60, 100] 的点做"判据外推测试"并报告结果。
- 代码与周期表开源，一键复跑。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 二维格点精确计数 | 自写整数扫描线算法（纯整数算术）；SymPy 辅助 |
| 对照计数器 | LattE integrale（免费开源；macOS 编译可行性需核实，不可行则用 Sage 的 Polyhedron.integral_points 计数替代；仅校验，不计入贡献） |
| Popoviciu 公式 | Beck–Robins《Computing the Continuous Discretely》（作者主页有免费电子版）第 1–2 章 |
| 已知塌缩实例 | McAllister–Woods 及后续论文（arXiv 免费；第 4 周核实清单） |
| 算力量级 | q ≤ 60 全扫描约 10⁵ 次多项式拟合，笔记本小时级，纯 CPU |
6 · 方法路径
- 写整数扫描线计数器，完成第 4 块第 1 条两项复现。
- 精读 Beck–Robins 相关章节，把族 T(a, q) 的 Ehrhart 系数用 Popoviciu 公式显式展开（核心引理准备）。
- 扫描 q ≤ 60 全表，自动检测最小周期，标出塌缩点集。
- 从塌缩点集猜同余判据；文献窗口核实该族是否已被已有充分条件覆盖（能力边界核实步）。
- 证明判据：充分性（代入展开式验证系数周期）与必要性（非塌缩点上构造周期障碍系数）。
- 独立交叉校验：Sage 计数复算 10% 抽样点；判据外推测试 q ≤ 100。
7 · 新颖性边界
- 本课题不声称给出一般多胞形的塌缩判据（公认困难），不把 McAllister–Woods 的构造与已有充分条件计入贡献，扫描表中被已有条件覆盖的点在论文中明确标注。
- 已有工作：McAllister–Woods 塌缩构造；零散充分条件（第 4 周核实到定理级）；Popoviciu 公式（经典）。丘奖相邻获奖论文：2021 金奖（Yau 几何猜想的格点上界估计）、2025 铜奖（相交数与格点计数）——本题差异：问题类型是拟多项式的周期结构而非格点数的上界/相交数，且交付是单参数族上的完全判据。
- 本项目贡献（主结论）：族 T(a, q) 的周期塌缩完全判据定理 + q ≤ 60 全景周期表。
- 价值：为"塌缩何时发生"这一公开问题提供第一个族级完全刻画；判据对/错在更大 q 上可被任何人机器检验。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 4 周末：硬门槛复现 + 文献核实完成。若所选族已被完全刻画 → 换族（斜边斜率变动的 T'(a, b, q) 或梯形族），展开引理与管线复用。
- 第 10 周末：Popoviciu 显式展开完成（手工 + SymPy 核对）。若展开复杂度失控 → 先固定 gcd(a, q) = 1 子族，判据目标收缩，框架不变。
- 第 24 周末：必要性证明若卡住，降级路径：主结论 = 充分性定理（严格）+ 必要性的 q ≤ 100 机器验证 + 反例搜索报告——"充分条件 + 无反例验证"仍是完整可发表结构，明确标注开放部分。
- 预算裁剪顺序：外推测试范围 → 第二个族；主族判据（至少充分性方向）不砍。