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Heilbronn 型极值构型的认证记录：三角形与凸四边形版本在正方形/三角形域上的精确算术下界
来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。
1 · 研究问题
在单位正方形（及单位三角形域）中放 n 个点、最大化"最小三角形面积"的 Heilbronn 值 h(n)，以及其凸四边形变体 h₄(n)（最大化最小凸四边形面积），对 n ≤ 16 的当前最好构型能否被复现、并在若干 n 上给出有理坐标认证的更优构型（即严格的下界改进）？小 n（如 n = 5, 6）的四边形变体最优性能否用分片分析完整证明？
2 · 研究背景与空白
Heilbronn 三角形问题问：n 个点撒在单位正方形里，最小三角形面积最坏能多大？它是组合几何的标志性难题：渐近上界近年才被改进（需核实：搜索关键词 Heilbronn triangle problem upper bound improvement 2023 Cohen Pohoata Zakharov），小 n 的精确值只在很小范围已知，更大 n 依赖数值构型记录（历史上有 Goldberg 的构造与后来的数值表，需核实当前记录维护处：搜索关键词 Heilbronn configurations records small n）。关键方法论事实：给出一个有理坐标构型并用精确算术验证其最小面积，即构成 h(n) 下界的严格证明——数值优化只是找构型的手段，认证才是数学交付。
已有工作：三角形版本记录表存在但变体（凸四边形版本、三角形域/圆盘域版本）的记录稀疏（需核实：搜索关键词 Heilbronn quadrilateral variant records domain triangle）。丘奖相邻获奖论文：2024 铜奖《Isoperimetric and Isodiametric Problems with Constraints in Euclidean Space》（约束极值几何）、2020 优胜奖《A study of the 2-dimensional inverse problem of Thomson》（平面极值构型）——同谱系不同对象。
空白在：变体 + 非正方形域的记录表要么稀疏要么无人维护，学生用"多启动局部优化找构型 + 有理化 + 精确验证"的管线可以产出严格的下界定理集合；小 n 变体的完整最优性证明（上界）是可以够到的完整定理。
3 · 可检验假设
- H1：凸四边形变体在正方形域、6 ≤ n ≤ 12 中，至少 3 个 n 的现有公开记录可被改进 ≥ 1%（或首次建立记录），且全部新纪录有有理坐标认证。
- H2：h₄(5)（或 h₄(6)）在正方形域的最优值可通过组合分类 + 分片优化完整证明（上界与下界匹配）。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：优化 + 认证管线先复现三角形版本已发表记录——n = 5…9 的已知最优/最好构型值复现至相对偏差 ≤ 10⁻⁶，且对其中有理/代数坐标已发表的构型用精确算术验证零误差。不过关则全线无效。
- 记录交付：目标变体（四边形版本 × {正方形域, 三角形域}）n ≤ 16 的完整记录表，每条记录附有理坐标与精确算术验证脚本。
- 证明交付：至少一个小 n 情形的完整最优性证明（写明分类讨论的穷尽性论证）。
- 优化协议预注册：多启动次数（≥ 10⁵ 次随机初始化/每 n）、局部求解器参数、有理化精度（分母 ≤ 10⁶）事先写死，防止"挑好看的结果"。
- 全部构型库 + 代码开源，认证脚本独立于优化代码。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 数值优化 | SciPy（SLSQP/trust-constr）+ 自写多启动框架；纯 CPU |
| 精确算术认证 | Python Fraction / SymPy 有理数计算最小面积，零浮点 |
| 已有记录对照 | 文献与公开记录页（第 3 周核实 URL 与最新值；仅校验与对比，不计入本项目的数据贡献） |
| 可视化 | Matplotlib（构型图用于论文与英文答辩） |
| 算力量级 | 每 n 的 10⁵ 次多启动约笔记本数小时；全表数周内完成，可断点续跑 |
6 · 方法路径
- 搭多启动优化 + 有理化 + 精确验证管线，完成第 4 块第 1 条复现。
- 文献窗口：核实三角形版本与各变体的记录现状（能力边界核实步），确定"首建记录"与"挑战记录"的 n 清单。
- 按预注册协议跑目标变体全表，产出候选构型。
- 有理化候选构型并精确认证，形成严格下界定理清单。
- 对 n = 5（或 6）做组合分类（哪四点构成最小四边形的情形分析）+ 分片优化，闭合最优性证明。
- 独立交叉校验：认证脚本由第二名队员（或换库）独立重写复算全部记录。
7 · 新颖性边界
- 本课题不声称触碰 Heilbronn 渐近上界（近年突破属专业前沿），不把三角形版本的已有记录计入贡献（仅作校验集），数值构型未经认证不作为结论。
- 已有工作：三角形版本小 n 记录与渐近理论（第 3 周核实到数值级）；变体与其他域的零散结果（同步核实）。丘奖相邻获奖论文：2024 铜奖《Isoperimetric and Isodiametric Problems with Constraints in Euclidean Space》（连续等周极值）、2020 优胜奖《A study of the 2-dimensional inverse problem of Thomson》（点构型极值）——本题差异：离散 Heilbronn 型目标函数、认证式交付（每条记录是一个严格下界定理）、变体与域为新组合。
- 本项目贡献（主结论）：变体记录表（严格下界定理集合）+ 至少一个小 n 完整最优性证明。
- 价值：记录型领域认可可复核的表格贡献；认证机制使公示期任何人可零门槛验证。
- 风险披露：若"变体已有系统记录"在核实中被发现，见第 8 块降级。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末：记录现状核实完成。若四边形变体已有密集记录 → 换域（三角形域/圆盘域）或换目标（最小凸五边形面积），管线完全复用。
- 第 6 周末：硬门槛复现通过（n = 5…9 偏差 ≤ 10⁻⁶）。未过多为优化器陷入局部极值 → 增加启动数与对称性种子；连续 2 周未过则更换求解器。
- 第 20 周末：若小 n 最优性证明分类爆炸，降级路径 A：证明降为"计算机辅助分类 + 区间算术验证"形态（明确标注辅助性质）；降级路径 B：主结论改为纯认证记录表 + 构型对称性的结构观察。两条都保留"认证下界定理集合"主框架。
- 预算裁剪顺序：第二个域 → n 上限 16 → 证明章节按降级路径 A 处理；认证协议不可砍。