含噪模拟下变分量子本征求解器(VQE)求横场 Ising 链基态：误差随线路深度与噪声率的标度(高风险高上限)

来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。

选择前提(启动即确认)：学生对线性代数(本征值、张量积)有实操能力、对量子力学有认真的自学意愿，且接受两点——其一，本题概念门槛为 20 题最高，英文答辩讲不清楚测量、纠缠与变分原理会整题反噬；其二，保底产出(精确对角化标度研究)必须先于 VQE 完成。满足才启动，否则选 T13。

1 · 研究问题

在 Qiskit Aer 含噪模拟器(纯 CPU)中,VQE 求 N ≤ 10 自旋横场 Ising 链基态能量的相对误差，随变分线路深度 p 与去极化噪声率 λ 如何标度？给定 λ 下是否存在最优深度 p(λ)(表达能力与噪声积累的竞争),p 随 λ 的变化方向是否符合"噪声惩罚 ∝ 门数"的一阶模型？

2 · 研究背景与空白

横场 Ising 链 H = −ΣZZ − gΣX 是量子相变的最小模型，可 Jordan–Wigner 精确求解，小尺寸下直接对角化即得基态真值——是量子算法误差核算的理想靶。VQE(Peruzzo et al. 2014, Nat. Commun.)用参数化量子线路 + 经典优化器变分逼近基态，是含噪中等规模量子(NISQ)时代的旗舰算法；其两大已知病灶——贫瘠高原(barren plateaus,McClean et al. 2018, Nat. Commun.)与噪声下的误差积累——都随深度加剧，而表达能力随深度增强，提示存在最优深度。

"噪声限制 VQE 可达精度"在文献中已被广泛讨论;空白在于：小系统 + 单一噪声通道(去极化)+ 系统扫描 (N, p, λ) 的公开、可复现基准表并不常见(相近基准是否存在，需核实：搜索关键词 "VQE depolarizing noise optimal circuit depth benchmark transverse field Ising")，多数论文只展示个别工况。全部计算在笔记本 CPU 上可行:N = 10 的密度矩阵模拟维度 4^10 ≈ 10⁶,Aer 完全支持。

3 · 可检验假设

• H1：无噪时能量相对误差随 p 单调下降,p ≥ N/2 时 ≤ 10⁻³(硬件高效 ansatz，临界点 g = 1)；含噪(λ = 10⁻³–10⁻²)时误差-深度曲线出现极小,p*(λ) 随 λ 增大而减小。
• H2：极小点附近误差可分解为"表达误差(无噪残差)+ 噪声误差(≈ c·λ·门数)"的加和模型，拟合优度 R² ≥ 0.9；偏离加和模型的区域与优化器陷入局部极小的种子占比上升同步(可由多种子散布诊断)。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验(硬门槛)：与精确解对照——numpy 精确对角化 N ≤ 10 横场 Ising 链，基态能量与 Jordan–Wigner 解析式(有限链开边界的自由费米子谱)逐点一致到 10⁻¹⁰；无噪 statevector 模式下 VQE 基线在 N = 4、足够深度时误差 ≤ 10⁻⁶(优化器收敛验证)。此条不过关，后续全部结论无效。
2. 统计口径预先写死：每 (N, p, λ) 配置 ≥ 10 个随机初始化种子，报中位数与四分位距(优化落局部极小使分布偏态，不报均值为主、更不许只报最优种子);p*(λ) 的置信区间由对种子自助法给出;shot 噪声与门噪声分离——主扫描用密度矩阵模式(无 shot 噪声)，另做一组有限 shot(10⁴)对照并单独报告。
3. 扫描矩阵:N = 6/8/10 × p = 1–8 × λ = 0/10⁻³/3×10⁻³/10⁻²，全部列表；优化器(COBYLA 或 L-BFGS，选定后冻结)与迭代上限写死。
4. 有效参数核查：每配置报告门数、参数量与实际达到的收敛判据。
5. 明确声明：结论限于模拟器与所选噪声模型，不外推到真实硬件(外推仅作展望，标注为推测)。
6. 可复现性：全部配置 + 种子 + 环境文件开源，单配置 30 分钟内可重跑。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
量子模拟	Qiskit + Qiskit Aer(开源,pip；密度矩阵/状态向量模拟器，含去极化噪声模型);N = 10 密度矩阵单次能量评估秒级，单次 VQE(数百次评估)分钟-十分钟级，全矩阵(~120 配置 × 10 种子)≈ 数天 CPU 后台，可行
真值	numpy/scipy 精确对角化(2¹⁰ = 1024 维哈密顿量，毫秒级)+ Jordan–Wigner 解析式自写(推导入报告)
文献对照	Peruzzo 2014(VQE)、McClean 2018(贫瘠高原),仅用于校验与对比，不计入本项目的数据贡献
分析	pandas + scipy 拟合 + matplotlib

6 · 方法路径

1. 精确对角化 + Jordan–Wigner 解析对照(验收 1 前半；这一步独立构成保底资产)。
2. 无噪 VQE 基线(N = 4)收敛验证(验收 1 后半)。
3. 冻结 ansatz、优化器、噪声模型与扫描矩阵文档。
4. 生产扫描(夜间后台，断点续跑)，原始优化轨迹落盘。
5. 提取误差-深度曲线与 p*(λ)，拟合 H2 加和模型。
6. 核实工具边界:Aer 去极化模型的门级施加方式(单/双比特门分别的 λ 约定)——读文档 + 单门小实验验证，写入方法节。
7. 独立交叉校验：对 N = 6 的 3 个配置换 ansatz(全对易层结构)复跑，确认 p*(λ) 趋势不依赖特定 ansatz。

7 · 新颖性边界

• 本课题不提出新算法、不声称量子优势相关任何结论;VQE、贫瘠高原、噪声限制均为已发表工作，横场 Ising 链解析解为教科书结果,不得声称为本项目发现。
• 已有工作：算法原文、噪声下 VQE 的多篇个案研究(系统基准的覆盖度需核实)。
• 本项目贡献(主结论):(N, p, λ) 三维系统扫描的公开基准表 + "最优深度"的加和模型检验 + 全种子散布报告。属"方法层面的可复现性贡献 + 评价维度转换(个案 → 系统标度)"。
• 价值:NISQ 教学与入门研究者缺一张"深度该开多大"的诚实表格;H1 的极小点不存在(噪声下单调劣化)同样是清晰结论。
• 核对获奖清单：本赛道 2020–2025 无量子计算/量子信息课题——属未开垦题材，机会与风险并存：评委新鲜感是上限，无先例参照与答辩理解成本是风险；学科归属(物理 vs 计算机赛道)须在报名前对照当年物理学科参赛指南确认(需以官方指南为准)。

8 · 决策门槛(go / no-go)

⚠️ 第 6 周末：验收 1 前半(精确对角化 + 解析对照)达标——此为保底资产，不达标说明线性代数基础不足,整题终止改选 T13。 ⚠️ 第 12 周末：无噪 VQE 基线达标。若优化始终不收敛,降级路径一：改用变分经典模拟(矩阵乘积态或直接变分波函数,numpy 实现)研究同一"表达能力-参数量"标度，量子线路改为附录;降级路径二：课题改为"横场 Ising 链的纠缠熵与能隙的有限尺寸标度"(纯精确对角化,N 至 14 仍 CPU 可行)。两条路径都保留"小量子系统 + 数值标度"的主框架。 ⚠️ 第 24 周检查点：扫描完成率 ≥ 50%，否则砍 N = 10 档(保 6/8)并缩 λ 到 3 档。 ⚠️ 预算裁剪顺序:shot 噪声对照组 → 换 ansatz 交叉校验 → N 档(最后砍)。

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