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格点高分子自回避行走的 pivot 算法自建实现：Flory 指数高精度复现与 θ 点跨越标度的独立测量
1 · 研究问题
自建的 pivot + 局部移动混合蒙特卡洛能否在二维/三维格点上把自回避行走（self-avoiding walk, SAW）的 Flory 指数 ν 复现到 1% 以内，并进一步在相互作用自回避行走（ISAW）上独立测得 θ 点（theta point）附近 ν 从膨胀值向 θ 值的跨越行为？
2 · 研究背景与空白
SAW 是高分子排除体积效应的最小模型，其端距标度 R ~ N^ν 的指数是普适量：二维精确值 ν = 3/4（Nienhuis），三维最精值 ν = 0.587597(7) 来自 Clisby (2010) 对 pivot 算法的快速实现（行走长度达 2.68×10⁸ 步）。加入近邻吸引后，ISAW 在 θ 温度发生塌缩转变：二维 θ 点的 ν_θ = 4/7 有精确预言。文献同时明确指出：pivot 算法的效率在 θ 点附近显著退化、塌缩相中更甚（Sokal 综述, hep-lat/9509032；多重马尔可夫链方法即为此而生）。
空白在可复现性维度：高精度数值全部来自少数几个高度优化的专用实现；一个结构透明、百行级、可被第三方审查的实现能把 ν 做到多准、把 θ 点跨越测到多清楚，本身是有教学与方法价值的定量问题。物理结论已知使得每一步都可校验，特别适合把"算法效率退化"从障碍转写成研究内容。
3 · 可检验假设
- H1：三维 SAW（N ≤ 10⁴，含修正标度项外推）测得 ν 与 0.587597 偏差 ≤ 1%；二维与 3/4 偏差 ≤ 1%。
- H2：二维 ISAW 在文献 θ 温度处，回转半径标度指数与 4/7 在 95% 置信区间内一致；且 pivot 接受率随温度降至 θ 点呈文献描述的显著退化，退化曲线可定量表征。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：无相互作用 SAW 在 N = 10²–10³ 区间，二维 ν 偏差 ≤ 2%、平均接受率与 Madras–Sokal 文献报告的 O(N-p) 行为定性一致；短链（N ≤ 12）与精确枚举计数完全一致。此步不过关，后续全部结论无效。
- 每个 N 的有效独立样本数 ≥ 10³（按积分自相关时间折算并显式报告）。
- 指数拟合口径预先写死：双对数最小二乘、含首阶修正标度项 (1 + b·N-Δ) 的非线性拟合、逐步剔除小 N 的稳定性分析三者并行，误差用 bootstrap 置信区间。
- θ 点采样用 Metropolis 局部移动 + 多重马尔可夫链（multiple Markov chain）双方案，两法在重叠温度点统计量一致 ≤ 1σ。
- 全部代码开源，附精确枚举校验脚本。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 模拟引擎 | 自写 Python + numba：pivot（哈希表查自交，单次尝试 O(N)）、局部移动（BFACF 或爬虫移动）均需自行实现；无外部数据依赖 |
| 精确对照 | 二维 ν = 3/4 精确值；短链精确枚举（自写深度优先，N ≤ 12 秒级）——仅作校验，不计入贡献 |
| 文献基准 | Clisby (2010) ν = 0.587597(7)；Sokal 综述 hep-lat/9509032；θ 点文献值——仅作对照，不计入贡献 |
| 分析 | numpy/scipy；bootstrap 自写 |
算力（基于文献标尺）：Clisby 的专用数据结构达 N ~ 10⁸——明确超出本项目范围。简单哈希实现单次 pivot 尝试 O(N)：N = 10⁴、每链 10⁶ 次尝试 ≈ 10¹⁰ 基本操作，numba 下约小时级/链长点；全部 8–10 个 N 点约数天后台，可行。θ 点附近因自相关暴涨，预算再乘 5–10 倍，限制在 N ≤ 3×10³。降规模版本：N ≤ 3×10³ 全线 → ν 复现精度目标放宽到 2%，θ 点跨越定性结论保留，修正标度项拟合的杠杆臂缩短。
6 · 方法路径
- 写精确枚举器（N ≤ 12），建立绝对正确的对照锚点。
- 实现 pivot 算法与哈希自交检测，完成硬门槛校验（枚举一致 + 接受率行为）。
- 测 2D/3D SAW 的 R²(N)，做三口径指数拟合与外推，对照精确/文献值。
- 加入近邻吸引能，实现 Metropolis 局部移动与多重马尔可夫链，跑通高温端。
- 核实 θ 点附近积分自相关时间量级（第 8 块门槛项），冻结温度网格。
- 测量跨越区 ν_eff(T, N)，给出 θ 点标度检验与接受率退化曲线。
- 独立交叉校验：用回转半径与端距两种尺寸度量分别拟合 ν，检验一致性。
7 · 新颖性边界
- 本课题不声称改进 ν 的世界纪录（点名 Clisby 2010 的 0.587597(7) 远超本项目可达精度），不声称发现 θ 点物理。
- 已有工作：pivot 算法及其快速实现、θ 点的多重马尔可夫链研究均已发表（Sokal 综述、Springer 多重马尔可夫链章节）。
- 本项目贡献（主结论）：结构透明实现所能达到的精度边界的系统定标 + θ 点跨越与算法效率退化的独立定量测量。这是可复现性贡献，定位必须讲清楚；"简单实现在 N ≤ 10⁴ 内即可达 1%"或"达不到"都是有信息量的结论。
- 历届获奖图谱中软物质方向有 2022 金奖（软物质弹性模量测量，实验），与本题（格点模拟）无重叠。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 6 周末：硬门槛（枚举一致 + 2D ν ≤ 2%）通过；不过关 → 排查实现，不加规模。
- 第 10 周末：核实 θ 点附近自相关时间。若多重马尔可夫链仍无法在两周预算内产出 10³ 有效样本 → 具名降级：放弃 θ 点，课题收窄为"SAW 修正标度指数 Δ₁ 的三口径测量与简单实现精度定标"，标度分析框架完整保留。
- 第 24 周末：冻结全部拟合口径；预算裁剪顺序：3D 大 N 端 → θ 点温度网格密度 → 2D 主线不可裁。
- 适合学生：编程较强、对算法本身有兴趣的队伍；风险集中在 θ 点采样效率，已配置明确退路。