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多边形离散曲线缩短流的两种离散化对比：向圆收敛速率与等周比单调性的数值判定
1 · 研究问题
Chow–Glickenstein 线性半离散流与"按离散曲率直接驱动"的非线性离散曲线缩短流（discrete curve shortening flow），在顶点数 N→∞ 时向连续 Gage–Hamilton 理论（凸闭曲线流成圆）收敛的速率各是多少阶？进一步：离散等周比（isoperimetric ratio）L²/(4πA) 在两种离散化下是否都单调下降，非凸初值下是否出现违例？
2 · 研究背景与空白
曲线缩短流 ∂γ/∂t = κn 是最简单的几何流，Gage–Hamilton–Grayson 定理保证嵌入闭曲线收敛为圆后缩为一点。离散化有两条路线：Chow & Glickenstein 2007 的线性半离散流（顶点向相邻顶点中点移动，可精确解，极限为正多边形的仿射像）；以及用离散曲率（转角/边长）直接驱动的非线性流。2025 年 Springer《J. Geom. Anal.》的 polyharmonic 推广（arXiv:2502.05243）延续线性路线并给出收敛阶随流阶数提高的结果。
已有工作对线性流的极限行为有完整定理；对两种离散化相互之间、以及各自向连续理论的定量收敛速率，公开文献缺少系统数值对照（检索 "discrete curve shortening flow convergence rate numerical comparison" 未见；未找到不等于不存在）。
空白在评价维度：定理回答"收敛到什么"，本项目回答"以多快的阶收敛、几何量（等周比、曲率极差）在离散层面保真到什么程度"。代码量小、有解析参照（圆的自相似收缩精确解），适合学生。
3 · 可检验假设
- H1 非线性离散流对凸初值的等周比收敛到 1，其与连续理论偏差随 N 按 N^(-q) 标度，q 实测值 ≥ 2（二阶精度），且 q 的自助法置信区间宽度 ≤ 0.2。
- H2 线性 Chow–Glickenstein 流的等周比极限偏离 1（极限为仿射正多边形而非圆），偏离量随初值椭率单调增加——两种离散化在"几何保真"维度上可定量区分。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：自建管线复现圆初值的自相似收缩，收缩半径 r(t)=√(r₀²−2t) 与解析解偏差 ≤ 0.5%（N=256）；并复现 Chow–Glickenstein 论文中正多边形极限的解析结果。不过关则后续全部结论无效。
- 收敛阶测定用 N ∈ {32,...,4096}（对数 ≥6 点），双对数最小二乘 + Richardson 外推交叉验证。
- 时间离散误差与空间离散误差分离：每个 N 下步长减半验证时间误差已低于空间误差一个数量级（收敛性检查）。
- 等周比单调性判定给明确判据：单调违例定义为超出浮点噪声 10 倍的上升事件，报告违例率。
- 非凸初值 ≥ 5 族（含大幅"手指"形），每族 ≥ 3 个参数。
- 全部代码开源、一键重跑。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 流的实现 | 自建 numpy：多边形顶点数组 + 显式/半隐式时间推进（~100 行）；scipy.integrate.solve_ivp 可作 ODE 推进器 |
| 解析参照 | 圆自相似解（手推公式）；Chow–Glickenstein 2007 论文的正多边形极限定理 |
| 线性流精确解 | 线性流可用循环矩阵特征分解精确求解（numpy.fft 即可），作为该路线的零误差参照 |
| 符号验证 | sympy 验证离散曲率公式与小 N 情形 |
| 对照文献 | Chow & Glickenstein 2007；arXiv:2502.05243，仅用于校验与对比，不计入贡献 |
| 算力 | N=4096、10⁵ 步单次 < 1 分钟；全项目 CPU < 5 小时 |
6 · 方法路径
- 装环境，实现两种离散流，通过圆收缩校验（第 1 条验收）。
- 用循环矩阵特征分解写出线性流精确解，验证数值推进器。
- 凸初值族（椭圆、卵形线）上做 N 收敛扫描，测收敛阶。
- 测等周比轨迹与单调性，凸/非凸分开统计违例。
- 非凸"手指"初值下观察嵌入性是否保持（记录自交事件，须给可复现判据）。
- 交叉校验：同一初值用半隐式格式独立重算，确认结论与格式无关。
- 汇总为两种离散化的"几何保真"对照表。
7 · 新颖性边界
本课题不声称新的流或新定理。已有工作：Gage–Hamilton–Grayson 连续理论；Chow–Glickenstein 2007 线性半离散流的完整极限定理（极限为正多边形仿射像）；2025 年 polyharmonic 推广给出高阶流的收敛加速。本项目的主结论是两种离散化向连续理论收敛的实测阶数与几何量保真度的系统对照，特别是等周比在离散层面的行为——这是文献定理未覆盖、检索未见系统数值研究的维度（未找到不等于不存在）。价值：为"想在计算机上跑曲线缩短流的人该选哪种离散化"提供可操作判据。历届丘奖有 Hamilton 等周比相关的理论获奖论文（2022 mention《On the Minimizer of Hamilton's Isoperimetric Ratio...》），本项目为数值方向，无重合。若 H1 的 q < 2（离散化只有一阶精度），该结论同样有效且更有信息量。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末:圆收缩校验 + 线性流精确解复现必须通过。
- 第 8 周末:非线性流在 N=4096 下数值稳定（无需过小步长，即刚性可控）。若显式格式步长约束不可行，降级路径 A：改半隐式格式（矩阵三对角求解，scipy 内置），主结论不变。
- 第 16 周末:非凸初值是否出现自交/崩溃导致无法测量。若是，降级路径 B：把非凸部分从"系统研究"降为"现象报告"，主结论收缩为凸初值的收敛阶对照——框架保留。
- 预算裁剪顺序：先砍非凸族数量，再砍最大 N；收敛阶主结论只需 4 个 N 点即可成立。
- 适合对象:对几何直觉有兴趣、想要"能画出漂亮动图"的课题的学生；数学表述门槛中等。