Yau Awards Archive 2020 — 2025

Topics选题方案 ／ 数学奖 ／ M09

M09

秩 3 阿贝尔群的 Davenport 常数：剪枝穷举的小群精确判定与极值零和自由序列的逆问题分类

优先级：中低（高风险高上限）分族：组合数论/零和理论子类：开放常数小情形判定资源：笔记本 CPU + Python/PARI 自写搜索技能：编程 60% / 数论 40%

1 · 研究问题

对秩 3 阿贝尔群 G = Cn1⊕Cn2⊕Cn3（n1|n2|n3），Davenport 常数 D(G)（最短长度 ℓ 使任何长 ℓ 的元素序列必含非空零和子序列）能被剪枝穷举精确判定到多大的 |G|？在可判定范围内，猜想 D(G) = n1+n2+n3−2 是否全部成立，其极值序列在自同构下有几个轨道？

2 · 研究背景与空白

D(Cn) = n；秩 2 情形 D(Cm⊕Cn) = m+n−1（m|n）为经典定理。秩 3 起猜想 D(G) = d(G)+1 = n1+n2+n3−2 总体开放*：已证特例包括 C3⊕C3⊕C3d 型（Bhowmik–Schlage-Puchta）与若干 C2⊕C2m⊕C2n 型的相关常数（Acta Math. Hungar. 2019 处理了部分秩 3 逆问题）；2025 年仍有新上界论文（如 arXiv:2510.20412 及"higher rank"新预印本），说明问题活跃且未决。

空白在逐群的精确判定表与极值序列（长 D−1 的零和自由序列）的完整轨道分类在小群上无人系统发布。适合能承受风险的学生：下界由显式序列证书给出，上界由穷尽搜索日志给出，正负结论（吻合/违反猜想）都极有价值——违反即为重要发现，吻合则新增已验证情形并产出逆问题结构数据。

历届对照：2022 年优胜《On the Elementary Proof of the Inverse Erdős–Heilbronn Problem》属加性组合逆问题，但对象是集合加法而非零和序列。

3 · 可检验假设

  • H1：剪枝穷举可精确判定全部 |G| ≤ 128 的秩 3 群（含 C4^3、C2⊕C4⊕C4k 等），且 D(G) = n1+n2+n3−2 在其中全部成立。
  • H2：已判定群的极值零和自由序列在 Aut(G) 作用下轨道数 ≤ 3，且轨道代表元有统一结构描述（与已发表秩 3 逆问题结果衔接）。

4 · 量化验收标准

  1. 方法学校验（硬门槛）：自建搜索器复算 ≥ 12 个已知值：秩 1 全对、秩 2 公式（|G| ≤ 100 内 ≥ 6 例）、D(C2^3)=4、D(C3^3)=7 及文献中 C3⊕C3⊕C3d 小例；全部吻合，否则后续无效。
  2. 每个新判定群给出：下界证书（显式零和自由序列，独立脚本验证其无零和子序列）+ 上界证据（穷尽搜索日志或 SAT UNSAT）。
  3. 极值序列全枚举 + Aut(G) 轨道分类，轨道代表元列表可机检。
  4. 搜索器与 SAT 编码双路径在 ≥ 5 个群交叉一致。
  5. 全部证书与日志开源。

5 · 数据与工具

用途 来源 / 工具
零和自由序列搜索 Python 自写 DFS：状态为"已生成子序列和集合"（用位集合表示 G 的子集，
规模评估 C4^3（
上界复核 pysat（序列存在性编码为 SAT）
快速群运算 向量加法直接用 numpy/整数编码；自同构生成元可用 GAP 导出后固化
已知值对照 秩 2 公式、C3^3 等文献值——仅校验用，不计入贡献

6 · 方法路径

  1. 实现基础 DFS 与零和子序列判定，完成 12 项校验。
  2. 加子集和位集合剪枝与轨道剪枝，在 C3^3 上校准剪枝收益。
  3. 实测 C4^3，据此外推可判定边界（go/no-go 输入）。
  4. 按 |G| 递增逐群判定，存双向证书。
  5. 对每个已判定群枚举全部极值序列并做轨道分类。
  6. 将轨道结构与已发表秩 3 逆问题定理对照，写出吻合/超出部分。
  7. SAT 路径交叉复核关键群。

7 · 新颖性边界

秩 ≤ 2 公式、C3⊕C3⊕C3d 特例、全部渐近上界均为已发表结果（点名见第 2 块）；猜想本身非本项目提出。本项目不声称解决秩 3 猜想。贡献（主结论）：小群逐一精确判定表（每项双向证书）+ 极值序列的完整轨道分类。价值：若出现违反猜想的群即为领域级发现；全部吻合则为猜想提供新的已验证区块，且逆问题数据直接服务于结构猜想的提出。"只判定出 2–3 个新群"的最低产出也附带完整逆问题分类，仍可成文。

8 · 决策门槛（go / no-go）

  • 第 3 周末：12 项校验全过。
  • 第 6 周末：C4^3 实测。若单群 > 1 周单核 → 降级一：对象收缩为 C2⊕C2m⊕C2n 亚族（结构剪枝最强、且有 2019 文献可对照），判定表 + 逆问题框架不变。
  • 第 20 周末：若新判定群 ≤ 2 → 降级二：重心转到已知 D 值群的逆问题轨道分类（计算量低一个量级），主结论改为"极值序列结构分类 + 结构猜想"，保留零和理论框架。
  • 选择前提：仅当学生明确接受"可判定边界可能很小"的风险时启动；本题上限（发现反例或大幅扩表）与下限（2–3 个群 + 分类）差距大，须在开题时向指导老师书面确认。