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广义书图族沙堆群的不变因子：Smith 标准形批量计算驱动的公式猜想与归纳证明

优先级：最高分族：图论/代数组合子类：计算驱动猜想+完全证明资源：笔记本 CPU + SageMath技能：编程 40% / 证明 60%

1 · 研究问题

广义书图 B(m,n)（n 个 m-圈共享一条公共边）的沙堆群（sandpile group / critical group）不变因子分解是否存在关于 (m,n) 的封闭公式？若无统一公式，其 p-部分是否随 n 呈可证明的周期性？

2 · 研究背景与空白

沙堆群是图 Laplacian 矩阵整数余核确定的有限阿贝尔群，阶数等于生成树数（Matrix-Tree 定理），是比生成树数更精细的图不变量。其结构由 Laplacian 的 Smith 标准形（Smith normal form, SNF）对角元直接给出。

已完全确定沙堆群结构的图族很少：完全图（Z_n^n-2）、完全二部/多部图（Jacobson–Niedermaier–Reiner）、轮图与扇图、thick cycle（2017）、外平面图的结构定理（arXiv:2005.01314）。三角书图 B(3,n) 是联图 K₂ + nK_1，可由多部图/联图技术导出，属已知边界。

空白在 m ≥ 4 的广义书图（含 K_2,n 子式，不属外平面图，也非联图）未见已发表的不变因子公式；本轮检索未找到，但未找到不等于不存在，第 4 周须按 stacked book / generalized book / polygonal book 等关键词再做一轮系统检索。该空白适合一年期课题：计算门槛极低、猜想可由数据直接读出、结论正负（有无封闭公式）都成立。

3 · 可检验假设

H1：B(m,n) 的沙堆群由不超过 3 个循环因子构成，且各因子阶有关于 (m,n) 的显式公式（可含 Chebyshev 型递推数）。
H2（备择）：若无统一公式，则对每个素数 p ≤ 13，其 p-部分关于 n 周期，周期可显式给出并证明。

4 · 量化验收标准

方法学校验（硬门槛）：自建 SNF 管线复算完全图 K_n（n≤10）、轮图 W_n（n≤12）、完全二部图 K_a,b（a,b≤6）的已发表沙堆群结构，共 ≥25 个算例全部吻合；不吻合则后续全部结论无效。
数据表：m ≤ 12、n ≤ 200 的全部 B(m,n) 不变因子（约 2400 个群）。
猜想公式在全表内 100% 吻合，且群阶乘积与独立计算的生成树数一致（Matrix-Tree 交叉校验）。
至少对一个无限子族（固定 m 或固定 n）给出完整证明。
全部脚本开源，第三方一键重跑生成同一表格。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
图构造、Laplacian、SNF	SageMath（内置 `laplacian_matrix()`、`smith_form()`、`Sandpile` 模块，均无需自写；纯 CPU，500×500 整数矩阵 SNF 秒级，全表数分钟）
生成树数交叉校验	Sage `spanning_trees_count()`；OEIS 比对相关序列
已知结果对照	完全图/轮图/多部图已发表公式——仅用于校验与对比，不计入本项目贡献
证明工具	手工行列变换归约 Laplacian；圈结构的转移矩阵（Chebyshev 多项式恒等式，纸笔）

6 · 方法路径

装 SageMath，跑通内置 Sandpile 算例，完成第 4 块第 1 条校验。
完成"该族是否已发表"的第二轮英文检索并存档检索式。
批量计算 m ≤ 12、n ≤ 200 全表，按素数做 p-adic 分解。
识别因子模式，提出显式公式或周期性猜想（判据须写成可机检的等式）。
对固定 m 的子族用行列变换 + 圈转移矩阵做归纳证明。
用 Matrix-Tree 定理独立复核群阶，作为与 SNF 无关的第二条验证路线。

7 · 新颖性边界

本课题不声称新方法：SNF 与图 Laplacian 是标准工具。已有工作：完全图、完全多部图、轮图/扇图、thick cycle、外平面图的沙堆群结构均已发表（点名见第 2 块）；三角书图 B(3,n) 大概率可由联图技术直接导出，明确列为已知边界与校验用例。本项目贡献（主结论）：m ≥ 4 广义书图族的不变因子公式与至少一个无限子族的证明。价值：为"结构已知图族"清单新增一个二参数族，且该族恰在外平面定理与联图技术的覆盖之外。若第二轮检索发现已发表，见 go/no-go 的换族路径。

8 · 决策门槛（go / no-go）

第 4 周末：校验 25 算例全过 + 检索存档完成。任一失败即暂停修复，不进入批量计算。
第 10 周末：若发现 m ≥ 4 书图公式已发表 → 立即换族：冠图 C_n∘K₁ 或风车/花图变体，管线与主结论框架（计算→猜想→子族证明）完全不变，损失仅 2 周。
第 18 周末：若模式明显无封闭公式 → 降级为 H2：证明 p-部分周期性定理 + 给出局部公式；这本身是完整主结论。
第 30 周冻结计算，转入英文写作与答辩准备（全赛道通用：第 44 周初稿，第 50 周查重与提交包）。