手绕超材料阵列的单胞谐振离散度：制造公差把增益吃掉了多少

推荐优先级：较高 · 族 B（自建低成本装置） · 参赛子类：Energy: Sustainable Materials and Design（射频测量与制造公差侧） · 资源需求：总器材 < ¥800，现货 3–5 天 · 技能取向：射频测量与校准 / 分布统计 / 受控失配实验

1 · 研究问题

用 3D 打印骨架加手工绕线做成的超材料（metamaterial）阵列，16 个单胞（unit cell）的谐振频率实际分散在多大范围？这个分散度与整块板的功率传输效率（power transfer efficiency, PTE）提升之间是什么关系——把最差的几个单胞挑出来，增益会不会不降反升？

2 · 研究背景与空白

背景。 无线电能传输的超材料板由一组相同的 LC 谐振单胞排成阵列，靠单胞间的近场耦合把发射线圈的磁场"接力"到接收端。它能起作用的前提是所有单胞谐振在同一个频率上：谐振频率 f₀ = 1/(2π√(LC))，取对数微分得 δf/f₀ = −½(δL/L + δC/C)。手工绕线的匝间距、绕线张力与骨架尺寸偏差会直接进入 L——螺线管电感近似正比于 N²A/l，因此匝数一定时，绕线长度或直径 3% 的相对偏差就给出约 1.5% 的频率偏移。这个数字要和另一个数字比：谐振器的半功率带宽等于 f₀/Q，若 Q ≈ 100，带宽就是 1%。也就是说，1–2% 的制造离散度已经足以把相邻单胞推出彼此的半功率带宽，接力链条从这里开始漏。 这正是"便宜做法只做到 PCB 版 87.5%"这类结果最自然的解释候选，但它从未被测过。

已有工作到哪一步。 EGSD026（2026, Grand Award, "Optimized Wireless Power: 3D-Printed Metamaterials"） 做了 "a 4x4 array of 55x55 mm unit spirals, each with a 9-turn 30 AWG LC resonating circuit"，成本 "less than $10"，用 Analog Discovery 2 在 10–50 cm 九个距离上测 PTE，结论是 "improving mean PTE by approximately 12.5 percentage points over baseline and achieving approximately 87.5% of the PCB benchmark performance"。摘要里没有任何单胞级别的表征，也没有谐振频率的分布数据——"87.5%"是一个整板的黑箱数字。相关的 EGSD001（2025, Grand Award, IMD 无线充电）走的是相控阵+菲涅尔透镜路线，不构成同题。赛道层面的证据：两届 35 篇 EGSD 获奖摘要中 calibrat 0 次、uncertaint 0 次、standard deviation 0 次、batch-to-batch / inter-batch 0 次；扩展到同两届四赛道 173 个获奖项目，calibrat 也只出现 4 次且全部在 ROBO/ETSD。

空白在于：已有工作证明了"便宜做法能达到 PCB 版 87.5% 的性能"，但没有回答"为什么只有 87.5%、剩下的 12.5% 丢在哪"——这属于评价维度转换（从"整板做到多少"转到"制造公差如何传递到系统增益"）。它适合一年期学生课题的理由非常实在：一台 NanoVNA 加一卷漆包线就能开工，总预算不到 ¥800、现货 3–5 天；单胞的绕制与测量以分钟计，实验时间高度可压缩（想要更多样本就多绕几个）；结论正负都成立——离散度大是结论（给出这条低成本路线的性能天花板），离散度小同样是结论（说明 12.5% 的缺口来自 Q 值而非失配，把矛头指向另一个可改进的方向）。

3 · 可检验假设

H1 手工绕制的 9 匝 30 AWG 单胞，其谐振频率的批内相对标准差 σ_f/f₀ ≥ 1%；且在受控失配实验中，当人为失配量达到 2% 时，整板相对基线的 PTE 提升 损失 ≥ 一半。

数值依据：由 δf/f₀ = −½(δL/L + δC/C) 出发，手绕线圈几何 3% 的相对偏差给出约 1.5% 的频率偏移；而谐振器半功率带宽为 f₀/Q，Q ≈ 100 时即 1%。因此 1–2% 的失配把单胞推出彼此的半功率带宽，耦合接力显著退化。注意 Q ≈ 100 是本课题的工作假设而非引用值，必须在 §4 第 1 条的校验中实测确认；若实测 Q 显著不同，上述阈值须按 f₀/Q 重新推算并在开题时定死。

H2（备择假设，H1 被否证时仍有内容）若实测 σ_f/f₀ < 1%（手绕比预期一致），则与 PCB 基准的差距主要来自单胞的 Q 值（铜损、邻近效应与骨架介质损耗）而非谐振失配。判据：逐单胞 Q 值分布的均值显著低于 PCB 单胞的 Q，而 f₀ 分布的宽度不足以解释 PTE 缺口——即在受控失配实验中，把失配量设为实测的 σ_f 时，PTE 损失远小于观测到的 12.5% 缺口。这条假设保证 H1 被否证时课题不塌，只是把答案从"失配"换成"损耗"。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验（硬门槛，不过关则后续全部结论无效）——SOL 端口校准 + 已知谐振回路重测 + 重复插拔散布。 三项同时做到：(a) 用短路—开路—负载（short-open-load, SOL）标准件在测量频段完成 VNA 端口校准；(b) 用一个由 1% 精度电容 + 已知电感构成的参考谐振回路重测，实测 f₀ 与由标称值算出的 f₀ 偏差 ≤ 2%；(c) 报告同一标准件重复插拔 ≥ 10 次的 f₀ 读数散布，作为测量不确定度的下界。这一条是全课题的地基：若测量不确定度本身就接近 1%，那么"单胞离散度 1%"这个结论根本测不出来。 三项任一不过关，后续全部离散度与失配结论无效。
2. 统计口径预先写死——测量重复性与制造离散度必须严格分开。 「同一单胞重测」：每个单胞重复测量 ≥ 3 次且每次重新装夹，给出 σ_meas；「不同单胞」：≥ 16 个单胞（等于被对标项目的 4×4 阵列规模）逐个独立测量，给出制造离散度 σ_f。为得到分布形状而不只是一个标准差，建议绕制 ≥ 32 个单胞（成本增量仅为漆包线与打印骨架，可忽略）。这两个 σ 不是一回事，混用是本类目最常见的错误；报告中必须同时给出并明确 σ_f² ≈ σ_total² − σ_meas² 的分解。不确定度合成：A 类为重复测量标准差；B 类包括标准件容差、VNA 频率分辨率（所用型号的频率步进与扫频点数需核实）、温度对铜电感与介质电容的影响。
3. 受控失配扫描。 用并联微调电容把单胞谐振失配量人为设为 0 / 1 / 2 / 5 % 四档（失配量以 §4 第 1 条校准过的测量为准），每档 ≥ 3 次独立重装，在同一距离序列上测整板 PTE，给出"失配量 → PTE 增益损失"的传递曲线及误差棒。这条曲线是本课题的主要交付物。
4. 挑选实验。 按实测 f₀ 把最偏离中位数的 k 个单胞移除或替换（k = 1, 2, 3, 4），每种配置重复测量 ≥ 3 次，报告 PTE 的变化及其误差棒。必须给出明确、可复现的"最差"判据（按 |f₀ − median| 排序，还是按 Q 值排序，须预先写死）。
5. 优化前后同口径对比。 "未筛选整板"与"按 f₀ 筛选后整板"的 PTE 必须在同一距离序列、同一收发对准条件、同一次校准有效期内配对测量。距离序列建议对齐被对标项目的量级（10–50 cm 范围内的多个距离点），以便读者横向对照。只报筛选后的结果而不报筛选前的，就无法证明筛选有效。
6. 可复现性。 VNA 原始 s2p/触摸石文件、逐单胞的 f₀ 与 Q 原始表、绕线工装与骨架的 CAD 文件、打印参数（层高、方向、材料）、PTE 测量的几何定位图纸与脚本，全部开源。打印参数必须记录——这与 G6 是同一类要求，骨架尺寸偏差是 L 偏差的直接来源。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
单胞谐振频率与 Q 值测量	NanoVNA-H4，约 ¥450，现货；或复用被对标项目所用的 Analog Discovery 2（若校内已有）。所用型号的频率范围、扫频点数与动态范围需核实，它决定了能否分辨 1% 量级的 f₀ 差异
端口校准	短路—开路—负载（SOL）标准件套件。是否随机附带、精度等级与价格需核实；这是本课题唯一的射频计量基准，不可省
绕线	30 AWG 漆包线，约 ¥40。与被对标项目的线规一致，便于横向对照
骨架	3D 打印（校内）。层高、打印方向与材料必须记录并固定；建议同一批打印全部骨架，避免把打印批次差异混进单胞离散度
连接与失配调节	铜箔、接插件与并联微调电容组，约 ¥100。微调电容的容值精度决定失配量设定的准确性，需核实其容差
收发线圈与定位	自绕收发线圈 + 刚性定位支架（距离与对准必须机械固定并可复现）。PTE 对几何极敏感，手持测量不可接受，支架成本可控制在百元量级，具体方案与价格需核实
对标基准（仅用于校验与对比，不计入本项目的数据贡献）	EGSD026（2026）的 "4x4 array of 55x55 mm unit spirals, each with a 9-turn 30 AWG LC resonating circuit"、"less than $10" 成本、12.5 个百分点的 PTE 提升与 87.5% 的 PCB 基准比值；EGSD001（2025）作为不同技术路线的参照，不构成同题

须核实而非引用的量： 单胞在自由空间中的实测 Q 值（必须实测，不得引用，H1 的阈值推算完全依赖它）；VNA 的频率分辨率与在本课题频段的实际测量不确定度（由重复插拔散布给出）；SOL 标准件的精度等级；微调电容的容差；3D 打印骨架在同批与跨批之间的尺寸偏差（用游标卡尺逐个实测，这是 L 偏差的物理来源）。本课题不需要电化学工作站或任何长周期采购件，最长货期约 5 天，因此不承担 4–6 周货期风险。

6 · 方法路径

1. 搭测量台 + 完成 SOL 校准与参考谐振回路重测（§4 第 1 条硬门槛）。 建刚性定位支架、装好 VNA、跑完校准、用 1% 电容 + 已知电感的参考回路验证到 ≤ 2%、做满 10 次重复插拔并记录散布。这一步不过不许继续——测量不确定度若与被测离散度同量级，整个课题问的问题就没有答案。
2. 核实器材能力边界，逐条排查本方向的静默失败点（不报错但给错结果）：① 夹具与引线的寄生参数——VNA 端口、引线、探头会引入几十 nH 与几 pF，与单胞本身的 LC 同量级，不做端口校准就等于在测夹具。② 耦合探头本身改变被测谐振——用线圈耦合测 f₀ 时，探头与单胞的互感会把谐振点拉走（负载牵引），必须做"弱耦合"验证：把探头距离加倍，看 f₀ 是否稳定，不稳定就说明耦合太强。③ 同轴线弯折改变电长度——校准之后再挪动线缆，相位基准就变了，f₀ 读数随之漂移；线缆必须固定并在每次校准后不再移动。④ 相邻单胞互耦使"孤立单胞的 f₀"与"阵列中的 f₀"不同——这两个量必须分开测并报告差值，否则用孤立测量去解释整板性能会系统性偏差。⑤ 温度与手温——铜的电感与介质电容随温度变化，手持骨架几秒就足以移动 1% 量级的读数；必须戴手套或用支架操作并记录环境温度。
3. 绕制 ≥ 32 个单胞并逐个独立表征，给出 f₀ 与 Q 的分布（直方图 + 分位数），并按 §4 第 2 条分解出 σ_meas 与 σ_f。这一步数据自足、不依赖整板实验，是本课题最稳的交付物。
4. 测"孤立单胞 f₀"与"阵列中单胞 f₀"的差，量化互耦的影响，为后续解释整板性能建立桥梁。
5. 完成受控失配扫描（0/1/2/5%），产出"失配量 → PTE 增益损失"的传递曲线，判定 H1。
6. 完成挑选实验（k = 1…4）与筛选前后的同口径配对对比，回答"把最差的几个挑出来，增益会不会不降反升"。
7. 独立交叉校验。 用另一种原理测同一个量：对若干单胞用阶跃/冲击激励下的自由衰减波形（时域）拟合出 f₀ 与 Q，与 VNA 的频域结果对照，两者 f₀ 偏差 ≤ 0.5%、Q 偏差 ≤ 20% 才认为表征可信。时域法完全不经过 VNA 与其校准链，因此能独立验证整个频域测量。

7 · 新颖性边界

本课题不声称： - 不声称首次用 3D 打印 + 手绕做超材料无线电能传输阵列。EGSD026（2026, Grand Award）已做，成本 "less than $10"，并报出 12.5 个百分点的 PTE 提升。 - 不声称做出比 PCB 版更好的板子。本课题不追求性能，追求的是把 87.5% 这个数字拆开。 - 不声称超材料无线电能传输的理论创新。单胞失配与阵列性能的关系在射频工程里是已知的物理，本课题做的是在这条具体的低成本工艺路线上把它量出来。 - 不声称 EGSD026 的 87.5% 是错的。本课题只声称该数字是一个整板黑箱值，摘要所述的方法无法判定缺口来自失配还是来自损耗，并给出可检验的分解。这两句话的分寸差别很大，必须严格照后一句写。

已有工作做到哪： EGSD026（2026）做了 4×4、55×55 mm、9 匝 30 AWG 的单胞阵列，在 10–50 cm 九个距离上测 PTE，报出 12.5 个百分点的提升与 87.5% 的 PCB 基准比值，无任何单胞级表征、无谐振频率分布数据；EGSD001（2025, Grand Award）走相控阵 + 菲涅尔透镜路线，不构成同题。两届 35 篇 EGSD 获奖摘要中 calibrat、uncertaint、standard deviation、batch-to-batch/inter-batch 的出现次数全部为 0。

本项目的贡献（属「评价维度转换」型）： 已有工作评估的是"这块板整体做到了基准的多少"；本项目评估的是"手工制造公差如何传递到系统增益，这条低成本路线的性能天花板在哪"，并交付一条可复用的"失配量 → 增益损失"传递曲线。这是主结论，不是附加内容。

为什么有价值： 有了这条传递曲线，任何人在手绕自己的板子之前就能预测能做到多好，也知道该把工夫花在绕线一致性上还是花在降损耗上。而"87.5%"这个数字如果不被拆开，就只是一个无法复现、无法改进的黑箱——低成本路线的全部意义在于别人能复制它，而不能预测的东西无法被复制。

若结论不显著： 若 σ_f/f₀ < 1% 且受控失配在 2% 处的增益损失不足一半（H1 被否证），则按 H2 把答案指向 Q 值与损耗——这同样是有效结论，且它给出的改进方向更具体（换线规、改骨架材料）。但无论走哪条，都必须给出误差棒证明本测量有能力分辨 1% 量级的频率离散度，否则等于没做。

8 · 决策门槛（go / no-go）

🟢 2026-08-25（第 3 周末）：测量台建成，SOL 校准与参考谐振回路重测通过（偏差 ≤ 2%），重复插拔散布已量化。 若重复插拔散布本身就达到或超过 1%，说明测量不确定度与被测离散度同量级。降级路径：改用时域自由衰减法作为主表征手段（§6 第 7 步的交叉校验升格为主方法，它不依赖射频端口校准），主结论框架（单胞离散度与失配传递曲线）完全保留，代价是 Q 值测量精度下降、测量速度变慢。

🟢 2026-09-05：设计定稿并提交 SRC。 本条不涉及化学品、放射源、激光、高压（工作电压 < 12 V，射频功率为 VNA 输出的毫瓦量级），预计仅需 Form 3，含 3D 打印机与烙铁的防护与成人监督说明。⚠️ 不得在展板上做任何"可用于给医疗植入体或手机充电"的产品声称——那属于产品安全声称，评委会追问验证依据。表述须严格限定为"实验室尺度的超材料阵列与其制造公差"。

🟡 2026-10-12（第 10 周末）：≥ 16 个单胞的逐个独立表征与受控失配扫描全部完成。 若绕制速度不及预期（手绕 32 个单胞的工时可能被低估，须在 8 月内先绕 4 个计时），降级路径：把单胞数从 32 降到 16（等于被对标项目的阵列规模，仍满足 §4 第 2 条的下限），只报标准差与分位数而不报分布形状，主结论框架不变；若连 16 个都完不成，把课题收缩为"受控失配传递曲线"——用同一组少量单胞加微调电容人为构造失配即可完成 §6 第 5 步，不需要大样本，主结论框架（公差如何吃掉增益）完整保留。

🟢 展台能否展示实物：可以。 打印骨架与绕线板非液体、非土壤、非粉末、非化学品、非 >100 Wh 电池组，可以带上展位，是本赛道少数能把核心装置带上展台的条目之一。但不要指望现场演示：展位是静态的，无线电能传输的效果无法在展台上演示，价值仍须由三张主图承担（f₀ 与 Q 的分布直方图、失配量 → 增益损失的传递曲线、筛选前后的配对 PTE 对比）。实物的作用是让"这块板是我手绕的"变得可信。

🟢 季节：净窗口 2026-08 至 12 月只覆盖秋冬单季，这对本条完全无影响。 全部实验在室内进行，不依赖日照、降雨或自然温度周期。唯一需要控制的是实验室温度的季节漂移：铜的电阻率与介质的介电常数随温度变化，8 月与 12 月测出的 f₀ 可能存在系统性偏移，其量级与本课题关心的 1% 离散度可能同级。应对方式是（a）全程记录环境温度并作为协变量，(b) 同一批单胞的测量必须在同一天内完成或随机化测量顺序，绝不允许"8 月测前一半、12 月测后一半"——那会把季节漂移全额算进制造离散度。

⚠️ 与「附属赛后不得修改」的冲突点： 失配量的四个档位（0/1/2/5%）、"最差单胞"的判据（按 |f₀ − median| 还是按 Q 排序）、以及 PTE 测量的距离序列与几何定位，一旦在附属赛后想改就不被允许。 几何定位尤其关键——PTE 对收发距离与对准极敏感，换一个支架就换一组数。必须在 2026 年 11 月底前定死，并把定位支架的图纸与实测几何写进研究计划。

须提前核实而非边做边发现的事项： - 单胞的实测 Q 值——必须在第 1 周内测出，H1 的 1% 与 2% 两个阈值全部由 f₀/Q 推算而来，Q 若与假设的 100 相差很远，阈值必须在开题时按实测值重新定死。 - VNA 的频率分辨率与实际测量不确定度是否足以分辨 1% 的 f₀ 差异——由重复插拔散布直接给出，这是 go/no-go 的第一个判据。 - 手绕一个单胞的实际工时——先绕 4 个计时，再决定绕 16 个还是 32 个，不要凭乐观估计排计划。 - 3D 打印骨架的同批与跨批尺寸偏差——用游标卡尺逐个实测，若跨批偏差已达 1% 量级，则全部骨架必须同批打印，否则打印批次会混进单胞离散度。

已知困难及其定位： 测量夹具的寄生参数与单胞的 LC 同量级，是本条最大的技术风险。这个困难本身就是研究内容——课题问的正是"1% 量级的离散度能不能被分辨、它如何传递到系统增益"，因此把测量不确定度本身测清楚（重复插拔散布、弱耦合验证、时域交叉校验）就是主要交付物的一部分，而不是要绕开的障碍。

选择前提： 适合愿意做重复性手工作业（绕 16–32 个单胞）、并对射频测量的"看不见的误差"有耐心的学生。不适合把课题价值寄托在"我的板子传得更远"上的学生——本课题不追求性能，最好的结果是一条别人能拿去用的公差—增益传递曲线。

预算裁剪顺序： 总预算 < ¥800。裁剪顺序：先砍单胞数（32 → 16，仍满足下限），再砍失配档位（0/1/2/5 → 0/2/5 三档，保留曲线形状的最少点数），再砍挑选实验的 k 值范围（k = 1…4 → k = 1, 2），最后砍时域交叉校验。不能再砍的是 SOL 标准件与刚性定位支架——前者是唯一的射频计量基准，后者决定 PTE 测量的可复现性，砍掉任一课题即不成立。砍到最后，"单胞离散度 + 失配传递曲线"这一主结论框架仍完整保留。

评分： O=8, W=8, F=8, S=7, Fit=8 → base=78.6，h=9 → [70, 88]，置信度：中

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